عموميات عن الدّوال .universe-of-physics

الـــــــــــــــــدوال 

المقدمة

الدوال هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي تربط بين مجموعة من المدخلات (x) ومجموعة من المخرجات (y). تُستخدم الدوال لوصف العلاقات بين المتغيرات وكيفية تأثير تغيير أحد المتغيرات على الآخر. فهم الدوال وخصائصها يعتبر أساسياً لفهم العديد من الفروع الأخرى في الرياضيات والعلوم.

1. تعريف الدوال:

الدالة(f): علاقة رياضية تربط كل عنصر x من مجموعة تسمى المجال بعنصر واحد y فقط من مجموعة أخرى تسمى المدى.
الصيغة الرياضية: $𝑓:𝐴\to 𝐵$، حيث $𝐴$ هو المجال و$𝐵$ هو المدى.
المثال: الدالة $𝑓(𝑥)={𝑥}^2$ تربط كل عدد حقيقي بقيمته المربعة.

2. أنواع الدوال:

• الدالة الخطية: دالة من الشكل $𝑓(𝑥)=𝑚𝑥+𝑏$، حيث $𝑚$ هو الميل و$𝑏$ هو الجزء المقطوع من المحور $𝑦$.
• الدالة التربيعية: دالة من الشكل $𝑓(𝑥)=𝑎{𝑥}^2+𝑏𝑥+𝑐$، حيث $𝑎$ و$𝑏$ و$𝑐$ هي ثوابت.
• الدالة الكسرية: دالة تتضمن كسرًا يكون فيه البسط أو المقام أو كلاهما دالة في $𝑥$.
• الدالة اللوغاريتمية: دالة من الشكل $𝑓(𝑥)={\log }_{𝑏}(𝑥)$، حيث $𝑏$ هو الأساس

3. تمثيل الدوال:

التمثيل البياني: رسم الدالة على نظام إحداثي لتوضيح العلاقة بين $𝑥$ و$𝑦$.
التمثيل الجبري: استخدام الصيغ الجبرية لوصف الدالة.
التمثيل الجدولي: استخدام الجداول لتوضيح قيم المدخلات والمخرجات.

4. خصائص الدوال:

المجال (Domain): مجموعة القيم الممكنة للمتغير المستقل $𝑥$.
المدى (Range): مجموعة القيم الممكنة للمتغير التابع $𝑦$.
النقاط الحرجة: القيم التي تكون عندها المشتقة الأولى للدالة صفر أو غير موجودة.
الدالة الشاملة: دالة يكون فيها كل عنصر من المدى مرتبطاً بعنصر واحد فقط من المجال.
الدالة المتباينة: دالة يكون فيها كل عنصر من المجال مرتبطاً بعنصر مختلف في المدى.

5. تحليل الدوال:

التفاضل: استخدام المشتقات لتحليل السلوك المحلي للدالة، بما في ذلك إيجاد النقاط الحرجة وتحديد اتجاه التزايد أو التناقص.
التكامل: استخدام التكامل لتحليل المساحة تحت المنحنى، وتحديد بعض الخصائص الهندسية للدالة.

أمثلة وتطبيقات:

. الدالة الخطية:

المثال: $𝑓(𝑥)=2𝑥+3$

• المجال: جميع الأعداد الحقيقية.
• المدى: جميع الأعداد الحقيقية.
• التمثيل البياني: خط مستقيم ميله $2$ ويقطع المحور $𝑦$ عند $3$.

2. الدالة التربيعية:

المثال: $𝑓(𝑥)={𝑥}^2-4𝑥+4$

• المجال: جميع الأعداد الحقيقية.
• المدى: الأعداد الحقيقية $\ge 0$.
• النقاط الحرجة: عند $𝑥=2$.
• التمثيل البياني: قطع مكافئ يفتح لأعلى وقمته عند النقطة (2،0).

3. الدالة الكسرية:

المثال: $𝑓(𝑥)=\frac{1}{𝑥}$

• المجال: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر.
• المدى: جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر.
• التمثيل البياني: منحنى يقترب من المحاور ولا يقطعها.

4. الدالة اللوغاريتمية:

المثال: $𝑓(𝑥)={\log }_2(𝑥)$

• المجال: الأعداد الحقيقية الموجبة.
• المدى: جميع الأعداد الحقيقية.
• التمثيل البياني: منحنى يقترب من المحور $𝑦$ ولا يقطعه، ويمر بالنقطة (1،0).

أنشطة وتمارين:

النشاط الأول:

تحليل دالة تربيعية

1. اعط دالة تربيعية مثل $𝑓(𝑥)={𝑥}^2-6𝑥+9$.
2. احسب النقاط الحرجة وحدد نوعها (قمة أو قاع).
3. ارسم المنحنى على نظام إحداثي.

النشاط الثاني:

تمثيل دالة كسرية بيانياً

1. استخدم الدالة $𝑓(𝑥)=\frac{2}{𝑥-1}$.
2. احسب القيم المقابلة لـ $𝑦$ لعدة قيم لـ $𝑥$ وتحديد النقاط الغير معرفة.
3. ارسم المنحنى.

النشاط الثالث:

استخدام اللوغاريتمات

1. استخدم الدالة اللوغاريتمية $𝑓(𝑥)={\log }_3(𝑥)$.
2. املأ جدولاً بالقيم لـ $𝑥$ وقيم $𝑓(𝑥)$ المقابلة.
3. ارسم المنحنى.

خلاصة الدرس:

• الدوال هي أدوات رياضية هامة لربط المدخلات بالمخرجات.
• توجد أنواع مختلفة من الدوال، لكل منها خصائصها وتمثيلها الخاص.
• التمكن من تحليل وتمثيل الدوال يعزز من القدرة على حل المشكلات الرياضية المعقدة وفهم العلاقات بين المتغيرات في العلوم المختلف

فيديو توضيجي عن: عموميات عن الدوال 👇🏻

عموميات عن الدوال لمستوى