النهايات.universe-of-physics

 النهايات

عناصر الدرس:

1. التعرف على مفهوم نهاية الدالة.
2. دراسة العمليات على النهايات.
3. التعرف على طرق إزالة حالات عدم التعيين.

مفهوم نهاية الدالة

تعريف:

نقول أن للدالة $𝑓(𝑥)$ نهاية $𝐿$ عندما يقترب $𝑥$ من القيمة $𝑎$ إذا كان يمكن جعل قيم $𝑓(𝑥)$ قريبة بشكل تعسفي من $𝐿$ عندما يكون $𝑥$ قريبًا بما فيه الكفاية من $𝑎$ (من اليمين أو اليسار).

الترميز:

${\lim }_{𝑥\to 𝑎}𝑓(𝑥)=𝐿$

مثال:

${\mathrm{<span\; style="font-size:\; 24.2px;">Lim</span><span\; style="font-family:\; KaTeX\_Main,\; "Times\; New\; Roman",\; serif;\; font-size:\; 1.21em;"></span>}}_{}$𝑥→2(3𝑥−1)=5 لإثبات ذلك: ${\lim }_{𝑥\to 2}(3𝑥-1)=3\cdot 2-1=6-1=5$

العمليات على النهايات

1. نهاية مجموع أو فرق دالتين:

إذا كانت ${\lim }_{𝑥\to 𝑎}𝑓(𝑥)=𝐿$ و ${\lim }_{𝑥\to 𝑎}𝑔(𝑥)=𝑀$، فإن: ${\lim }_{𝑥\to 𝑎}(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))=𝐿+𝑀$ ${\lim }_{𝑥\to 𝑎}(𝑓(𝑥)-𝑔(𝑥))=𝐿-𝑀$

2. نهاية حاصل ضرب دالتين:

${\lim }_{𝑥\to 𝑎}(𝑓(𝑥)\cdot 𝑔(𝑥))=𝐿\cdot 𝑀$

3. نهاية حاصل قسمة دالتين:

إذا كانت $𝑀\mathrm{\ne }0$: $$lim⁡𝑥→𝑎(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))=𝐿𝑀

4. نهاية دالة مركبة:

إذا كانت ${\lim }_{𝑥\to 𝑎}𝑔(𝑥)=𝑏$ و ${\lim }_{𝑥\to 𝑏}𝑓(𝑥)=𝐿$، فإن: ${\lim }_{𝑥\to 𝑎}𝑓(𝑔(𝑥))=𝐿$

إزالة حالات عدم التعيين

1. التبسيط الجبري:

قد تحتوي النهايات على حالات عدم التعيين مثل $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. يمكن إزالة هذه الحالات باستخدام التبسيط الجبري.

مثال:

احسب ${\lim }_{𝑥\to 2}\frac{{𝑥}^2-4}{𝑥-2}$.

الحل: $\frac{{𝑥}^2-4}{𝑥-2}=\frac{(𝑥-2)(𝑥+2)}{𝑥-2}=𝑥+2$ ${\lim }_{𝑥\to 2}(𝑥+2)=4$

2. قاعدة لوبيتال:

إذا كانت النهاية على شكل $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$، يمكن استخدام قاعدة لوبيتال: $$lim⁡𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=lim⁡𝑥→𝑎𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥)

مثال:

احسب ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\sin (𝑥)}{𝑥}$.

الحل: باستخدام قاعدة لوبيتال: ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\sin (𝑥)}{𝑥}={\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\cos (𝑥)}{1}=\cos (0)=1$

3. الضرب بالمرافق:

في بعض الحالات، يمكن إزالة حالة عدم التعيين بضرب البسط والمقام بالمرافق.

مثال:

احسب ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{\sqrt{𝑥+1}-1}{𝑥}$.

الحل: ضرب البسط والمقام بالمرافق: $\frac{\sqrt{𝑥+1}-1}{𝑥}\cdot \frac{\sqrt{𝑥+1}+1}{\sqrt{𝑥+1}+1}=\frac{(𝑥+1)-1}{𝑥(\sqrt{𝑥+1}+1)}=\frac{𝑥}{𝑥(\sqrt{𝑥+1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{𝑥+1}+1}$ $$lim⁡𝑥→01𝑥+1+1=12

الواجب المنزلي:

1-احسب النهايات التالية:

• ${\lim }_{𝑥\to 3}({𝑥}^2-9)$limx→3​(x2−9)
• ${\lim }_{𝑥\to -1}\frac{{𝑥}^3+1}{𝑥+1}$
• ${\lim }_{𝑥\to 0}\frac{{𝑒}^{𝑥}-1}{𝑥}$ (باستخدام قاعدة لوبيتال)

2-ابحث عن تطبيقات النهايات في العلوم الهندسية أو الفيزيائية وقدم تقريرًا قصيرًا.

خاتمة:

تعتبر النهايات من المفاهيم الأساسية في تحليل الدوال والتي تفتح الباب لفهم أعمق في مواضيع مثل الاستمرارية والتفاضل. من خلال دراسة النهايات، نتعلم كيفية التعامل مع الدوال المعقدة وحساب سلوكها عند النقاط الحرجة.

فيديو عن النهايات👇🏻👇🏻

النهايات مستوى 3 ثانوي